Tạp chí Time đã bình chọn Bổ đề cơ bản và chương trình Langlands là khám phá khoa học nổi bật nhất trong năm 2009. Đặc biệt, chứng minh Bổ đề cơ bản của Ngô Bảo Châu, một nhà toán học người Việt đang làm việc ở Pháp và Mỹ, đã được công nhận là thành tựu quan trọng nhất của người Việt Nam trong lĩnh vực khoa học cho đến thời điểm hiện tại.
Bổ đề cơ bản của Ngô Bảo Châu
Bổ đề cơ bản của Ngô Bảo Châu là một định lý trong toán học có ảnh hưởng lớn đến chương trình Langlands. Đây là một chủ đề phức tạp và khó hiểu, thậm chí còn khó hiểu hơn khi so sánh với Định đề Poincare và huy chương Fields của nhà toán học Nga Perelman. Tuy nhiên, hiện tại chưa có bài viết nào cung cấp đủ thông tin về Bổ đề cơ bản này.
Định đề Poincare và nhà toán học Perelman
Định đề Poincare và câu chuyện của Perelman đã được rất xuất sắc miêu tả trong một bài viết trên tạp chí The New Yorker của Nasar và Grube. Đó là một tác phẩm văn chương giúp người đọc hiểu rõ vấn đề. Tôi mong muốn có một bài viết tương tự về Bổ đề cơ bản này, nhưng hiện tại tôi chưa tìm thấy.
Nếu không có bài viết nào, tại sao không thử viết về Bổ đề cơ bản một cách tôi hiểu nó như thế nào?
Điều này có thể giúp tôi hiểu rõ hơn về chủ đề này.
Cuộc đời của Galois
Để hiểu sâu hơn về Bổ đề cơ bản và chương trình Langlands, chú ng ta nên quay về Galois, một nhà toán học người Pháp đã đặt nền móng cho toán học hiện đại. Cuộc đời của Galois là một câu chuyện về một thiên tài đoản mệnh, nhưng mang lại ảnh hưởng lớn như một tác phẩm văn chương. Trước khi qua đời, Galois đã để lại một bức thư tuyệt mệnh, trong đó ông nêu ra phát hiện về mối liên hệ giữa lý thuyết nhóm và lời giải phương trình đa thức.
Khái niệm nhóm Galois
Trong lý thuyết đại số, khái niệm nhóm Galois được sử dụng để xác định xem một phương trình đa thức có thể giải được hay không. Đối với một phương trình đa thức, việc có thể giải được phụ thuộc vào việc những nghiệm số của phương trình có tạo thành một nhóm hoán vị hay không. Nhóm hoán vị này được gọi là nhóm Galois.
Ví dụ về phương trình bậc 2
Để minh họa, xét phương trình bậc 2: ax^2 + bx + c = 0 với các hệ số a, b, c. Công thức nghiệm tổng quát của phương trình này là:
x = (-b ± √(b^2 – 4ac)) / (2a)
Trong trường hợp này, các nghiệm số x1 và x2 thỏa mãn công thức Viète:
x1 + x2 = -b/a
x1 * x2 = c/a
Một điều đáng chú ý là nếu đổi chỗ hai nghiệm này trong công thức Viète, ta vẫn thu được đẳng thức đúng:
x2 + x1 = -b/a
x2 * x1 = c/a
Do đó, nghiệm số của phương trình bậc 2 có hai phép đối xứng: một là đồng nhất và hai là hoán vị. Chúng tạo thành một nhóm Galois.
Biểu diễn Galois
Biểu diễn Galois là một khái niệm được phát triển từ khái niệm nhóm Galois trong lý thuy ết đại số. Nó được sử dụng để diễn tả mối quan hệ phức tạp giữa các nghiệm số của các phương trình nghiên cứu trong lý thuyết số.
Định lý Fermat và luật nghịch đảo
Từ thế kỷ 17, nhà toán học Pháp Pierre de Fermat đã đặt câu hỏi về việc như thế nào có thể viết một số nguyên tố lẻ thành tổng của hai số chính phương. Ví dụ, Fermat đã tìm ra rằng số nguyên tố lẻ là đồng dư 1 của 4 (có nghĩa là chia cho 4 dư 1) có tính chất như vậy. Các ví dụ điển hình là các số 5, 13, 17…
Định lý Fermat này là một ví dụ đơn giản cho bài toán tổng quát hơn có tên gọi là luật nghịch đảo. Luật nghịch đảo tìm điều kiện để một phương trình bình phương đồng dư một số nguyên tố có nghiệm.
Hiểu biết về lý thuyết số và định luật nghịch đảo của Artin và Langlands
Vào đầu thế kỷ 20, một nhà toán học Áo tên là Artin đã tổng quát hóa và định luật nghịch đảo, được đặt theo tên ông. Ông Artin đã khám phá ra mối liên quan giữa các hình thức tự cấu. Hình thức tự cấu có thể được xem như là các hàm số đối xứng cao, ví dụ như hàm sin(x) hoặc cos(x). Các hàm số này có tính chất chu kỳ, tức là chúng giữ nguyên khi dịch chuyển đồ thị hàm số dọc theo trục x đi một khoảng bằng 2 pi. Điều này là một tính chất đối xứng đơn giản.
Sau đó, vào năm 1967, một nhà toán học gốc Canada tại Mỹ tên là Langlands đã tiếp tục nghiên cứu và phát triển ý tưởng của Artin. Langlands đã chỉ ra rằng tương lai của lý thuyết số nằm ở việc hiểu biết về các hàm số có tính chất chu kỳ phức tạp và các dạng ph ức hợp khác. Ông đã nhận thấy rằng một số tính chất, ví dụ như số 4 trong định lý Fermat, thực tế là có thể biểu diễn bằng một ma trận kích thước 1xN, trong đó N là một số nguyên tố lẻ và số 4 là tổng của hai số chính phương.
Việc dịch chuyển chu kỳ theo kiểu như vậy trong định lý Fermat có thể được biểu diễn bằng một số hoặc một ma trận kích thước 1xVới các định luật nghịch đảo tổng quát, khoảng cách dịch chuyển biến đổi đằng sau chúng có thể được biểu diễn bằng một ma trận có kích thước lớn hơn. Đây là một định đề trong chương trình nghiên cứu của ông Langlands.
Bổ đề cơ bản trong chương trình Langlands
Tôi có cảm giác đó như là một nghệ thuật hay là một dạng mặc khải về cái đẹp, có nghĩa là chúng ta chỉ có thể kinh ngạc hay sững sờ về chúng mà không thể tài nào lý giải được tại sao chúng lại có thể xuất hiện và hợp lý đến thế. Năm 1967, Robert Langlands đề xuất mối liên hệ mật thiết giữa đại số và giải tích. Ông nêu rõ về sự tương ứng giữa biểu diễn Galois và hình thức tự cấu. Đây là chương trình Langlands, một lý thuyết thống nhất lớn của toán học, trong đó bao gồm cả tìm kiếm tổng quát hóa của tính nghịch đảo Artin đến mở rộng Galois cho trường số.
Khám phá của Labesse và Langlands
Năm 1979, Labesse và Langlands công bố khám phá về hiện tượng hai biểu diễn tự cấu cùng tương ứng với một hàm số L, có thể xảy ra với bội khác nhau trong không gian của các hình thức tự cấu. Ban đầu, Labesse và Langlands chỉ chứng minh cho nhóm SL(2). Sau đó, Kottwitz chứng minh cho nhóm SL(3), và được Waldspurger chứng minh cho toàn bộ nhóm SL (n). Hales và Weissauer chứng minh cho nhóm Sp(4). Kottwitz và Rogawski chứng minh cho nhóm unitary U(3). Cuối cùng, Laumon và Ngô Bảo Châu chứng minh cho toàn bộ nhóm unitary U(n). Kết quả này đã đem lại giải thưởng nghiên cứu Clay cho Laumon và Ngô Bảo Châu vào năm 2004, cùng với Green.
Đóng góp của Ngô Bảo Châu
Vào năm 2008, Ngô Bảo Châu đã chứng minh cho tất cả các trường hợp còn lại, và kết quả này được khẳng định vào năm nay. Với việc đặt dấu chấm hết cuối cùng cho Bổ đề cơ bản, Ngô Bảo Châu đã kết thúc một hành trình lịch sử kéo dài 30 năm của nó.
