Công thức Euler trong số phức
Công thức Euler trong số phức là một công thức toán học quan trọng được xây dựng bởi nhà toán học người Thụy Sĩ Leonhard Euler. Công thức này chỉ ra mối liên hệ đặc biệt giữa hai hàm số quan trọng trong số phức: hàm số lượng giác và hàm số mũ phức.
Công thức Euler có dạng:
eiθ = cosθ + i*sinθ
Trong đó:
- e là số Euler, có giá trị xấp xỉ 2.71828
- i là đơn vị ảo, với i2 = -1
- θ là một góc trong hệ tọa độ số phức
- cosθ và sinθ là hàm số lượng giác của góc θ
Công thức Euler được coi là một trong những công thức đẹp và quan trọng nhất trong lý thuyết số phức. Nó không chỉ cho phép chuyển đổi giữa hàm số lượng giác và hàm số mũ phức một cách đơn giản, mà còn có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học và khoa học tự nhiên.
Chứng minh công thức Euler
Dưới đây là một cách chứng minh cho công thức Euler:
Bước 1: Sử dụng công thức Taylor mở rộng cho hàm số mũ phức ex:
ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + …
Bước 2: Áp dụng công thức Euler cho góc θ:
eiθ = cosθ + i*sinθ
Bước 3: Thay x = iθ vào công thức Taylor:
eiθ = 1 + (iθ) + (iθ)2/2! + (iθ)3/3! + …
Bước 4: Tính toán các lũy thừa của i:
i2= -1, i3= -i, i4= 1, i5= i, i6= -1, …
Bước 5: Gom nhóm các lũy thừa của i:
eiθ = (1 – θ2/2! + θ4/4! – …) + i(θ – θ3/3! + θ5/5! – …)
Bước 6: So sánh các phần thực và ảo:
eiθ = cosθ + i*sinθ
Vậy chúng ta đã chứng minh được công thức Euler.
Có nhiều cách để chứng minh công thức Euler
Có nhiều cách để chứng minh công thức Euler , trong đó cách được trình bày nhiều trong các giáo trình đại học là sử dụng chuỗi Taylor. Tuy nhiên, ở đây chúng ta sẽ nêu một phương pháp chứng minh sơ cấp hơn, sử dụng đạo hàm.
Sử dụng đạo hàm
Xét hàm số f(x) = e-ix(cosx + isinx), với x ∈ ℝ. Ta có:
f'(x) = -ie-ix(cosx + isinx) + e-ix(-sinx + icosx) = e-ix(-icosx -i2sinx – sinx + icosx) = e-ix(-icosx + sinx – sinx + icosx) = 0, ∀ x ∈ ℝ.
Do đó, hàm f(x) là hàm hằng.
Do đó, f(x) = f(0) = e-i0(cos0 + isin0) = 1, ∀ x ∈ ℝ.
Vậy, ta có: e-ix(cosx + isinx) = 1, ∀ x ∈ ℝ. Hoặc có thể viết lại thành: eix= cosx + isinx, ∀ x ∈ ℝ.
Đây chính là công thức Euler đã được chứng minh.
