Cách tính tổng các ước nguyên dương của một số
Trong bài viết trước, chúng ta đã tìm hiểu cách tính số ước số của một số tự nhiên. Bài viết này sẽ tiếp tục mở rộng và cung cấp công thức để tính tổng tất cả các ước số tự nhiên của một số nguyên dương cho trước.
Tính tổng các ước số tự nhiên
Để tính tổng các ước số của một số nguyên dương, chúng ta có thể thực hiện các bước sau:
- Liệt kê tất cả các ước số của số nguyên dương đó.
- Tính tổng các ước số đã liệt kê.
Ví dụ:
Hãy xem ví dụ sau để hiểu rõ hơn:
Cho số nguyên dương 12, chúng ta cần tính tổng các ước số của nó. Ước số của 12 là 1, 2, 3, 4, 6 và 12. Ta có thể tính tổng các ước số này:
Tổng = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28
Do đó, tổng các ước số của số 12 là 28.
Việc tính tổng các ước số trở nên đơn giản đối với các số nhỏ hơn. Tuy nhiên, với các số lớn hơn, quá trình này có thể mất nhiều thời gian hơn. Chúng ta có thể áp dụng công thức này để tính tổng các ước số của bất kỳ số nguyên dương nào.
Hãy lưu ý rằng công thức này chỉ áp dụng cho các số nguyên dương. Các số âm không có ước số dương.
Tính tổng ước số nguyên dương của số 24
Để tính tổng tất cả ước số nguyên dương của số 24, ta cần liệt kê các ước số và tính tổng của chúng.
Liệt kê các ước số nguyên dương của 24:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Tính tổng các ước số:
Để tính tổng, chúng ta cộng tất cả các ước số lại với nhau:
Tổng của các ước số: σ(24) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 24 = 60.
Nhận xét: Chú ý rằng số 24 có thể được phân tích thành tích của các số nguyên tố 2 và 3, tức là 24 = 2^3 * 3. Do đó, các ước số nguyên dương của 24 có thể được viết dưới dạng:
1, 2^0 * 3^0 = 1, 2^1 * 3^0 = 2, 2^0 * 3^1 = 3, 2^2 * 3^0 = 4, 2^1 * 3^1 = 6, 2^3 * 3^0 = 8, 2^2 * 3^1 = 12, 2^3 * 3^1 = 24
Chúng ta có thể tính tổng của các ước số mới này bằng cách:
Tổng của các ước số: σ(24) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 24 = (1 + 2 + 3 + 4) * (1 + 3) = 40.
Vậy tổng tất cả ước số nguyên dương của số 24 là 40.
Công thức tính tổng các ước số
Định lí: Nếu số nguyên dương n được phân tích thành thừa số nguyên tố: n = p1^m1 * p2^m2 * … * pk^mk, thì tổng các ước nguyên dương của n được tính bằng công thức sau:
Công thức (*): σ(n) = (p1^0 + p1^1 + … + p1^m1) × (p2^0 + p2^1 + … + p2^m2) × … × (pk^0 + pk^1 + … + pk^mk).
Công thức (**): σ(n) = ∏i=1k( (pimi+1 – 1) / (pi – 1) ).
Chi tiết chứng minh cho định lí này có thể được tìm hiểu thêm.
Cách tính tổng các ước nguyên dương của một số
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về cách tính tổng các ước nguyên dương của một số cho trước.
Ví dụ 1: Tính tổng các ước nguyên dương của số 200
Để tính tổng các ước nguyên d ương của số 200, ta sẽ áp dụng công thức (*) như sau:
200 = 2^3 * 5^2
Tổng các ước nguyên dương của 200 là:
Σ(200) = (2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3) × (5^0 + 5^1 + 5^2) = 465
Ngoài ra, nếu ta áp dụng công thức (**) thì kết quả cũng sẽ là 465:
Σ(200) = 2^(3-1)/2 – 1 * 5^(2-1)/5 – 1 = 465
Ví dụ 2: Tính tổng các ước nguyên dương của số 12,345,678
Để tính tổng các ước nguyên dương của số 12,345,678, ta cần phân tích số này thành các ước số nguyên tố:
12,345,678 = 2 * 3^2 * 47 * 14,593
Tổng các ước nguyên dương của 12,345,678 là:
Σ(12,345,678) = (1 + 2) × (1 + 3 + 3^2) × (1 + 47) × (1 + 14,593) = 27,319,968
Ví dụ 3: Tính tổng các ước nguyên dương của số n = 1,520,540,658
Để tính tổng các ước nguyên dương của số n = 1,520,540,658, ta cần phân tích số này thành các ước số nguyên tố:
n = 2 * 3^2 * 7^2 * 13^2 * 101^2
Tổng các ước nguyên dương của 1,520,540,658 là:
Σ(n) = (2^0 + 2^1) × (3^0 + 3^1 + 3^2) × (7^0 + 7^1 + 7^2) × (13^0 + 13^1 + 13^2) × (101^0 + 101^1 + 101^2) = 4,191,353,127
Ngoài ra, nếu ta áp dụng công thức (**) thì kết quả cũng sẽ là 4,191,353,127:
Σ(n) = 2^(2-1)/2 – 1 × 3^(3-1)/3 – 1 × 7^(2-1)/7 – 1 × 13^(2-1)/13 – 1 × 101^(2-1)/101 – 1 = 4,191,353,127
