Công thức khai triển (x+y)n – nhị thức Newton

Công thức khai triển nhị thức Newton (Niu-tơn) là một khái niệm được giảng dạy trong chương trình toán học lớp 11 sách giáo khoa hiện nay tại Việt Nam. Định lý nhị thức giúp chúng ta tính toán biểu thức (x+y)n một cách dễ dàng và nhanh chóng.

Định lí nhị thức

Với mọi số tự nhiên n và mọi số thực x, y, chúng ta có công thức sau:

(x+y)n= ∑k=0nCnkxkyn-k

Trong đó, Cnklà số tổ hợp chập k của n phần tử. Trong tài liệu tiếng Anh, ký hiệu này được thể hiện lànCk. Công thức trên còn được gọi là công thức nhị thức Newton hoặc định lí nhị thức (binomial theorem).

Giá trị của C_nk

Giá trị của Cnk được tính bằng công thức sau:

Cnk= n! / (k!(n-k)!)

Các trường hợp thường dùng

Trong thực tế, chúng ta thường sử dụng các giá trị của n từ 1 đến 8. Dưới đây là một số công thức nhị thức Newton thường được áp dụng:

• n = 1: (x+y)¹ = x + y
• n = 2: (x+y)² = x² + 2xy + y²
• n = 3: (x+y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
• n = 4: (x+y)⁴ = x⁴ + 4x< sup>3y + 6x²y² + 4xy³ + y⁴
• n = 5: (x+y)⁵ = x⁵ + 5x⁴y + 10x³y² + 10x²y³ + 5xy⁴ + y⁵
• n = 6: (x+y)⁶ = x⁶ + 6x⁵y + 15x⁴y² + 20x³y³ + 15x²y⁴ + 6xy⁵ + y⁶
• n = 7: (x+y)⁷ = x⁷ + 7x⁶y + 21x⁵y² + 35x⁴y³ + 35x³y⁴ + 21x²y⁵ + 7xy⁶ + y⁷
• n = 8: (x+y)⁸ = x⁸ + 8x⁷y + 28x⁶y² + 56x⁵y³ + 70x⁴y⁴ + 56x³y⁵ + 28x²y⁶ + 8xy⁷ + y⁸

Thông qua công thức khai triển (x+y)n- Nhị thức Newton, chúng ta có thể giải đáp những câu hỏi liên quan đến tính toán và biểu diễn các biểu thức mũ (x+y)nmột cách hiệu quả.