Đạo hàm là gì?

Đạo hàm là một khái niệm quan trọng trong toán học và tính toán. Nó được sử dụng để biểu diễn tốc độ thay đổi của một hàm số tại mỗi điểm. Đạo hàm của một hàm số cho biết giá trị thay đổi của hàm số theo biến số độc lập.

Đạo hàm của hàm số y=arcsinx, y=arccosx

Bài viết này sẽ giải thích cách tính đạo hàm của hai hàm số lượng giác ngược: y=arcsinx và y=arccosx. Trước khi bắt đầu, chúng ta cần nhắc lại định nghĩa của hai hàm số này.

Hàm số y=arcsinx

Hàm số y=arcsinx có tập xác định là D=[-1;1] và tập giá trị là T=[-\pi/2;\pi/2]. Để tính đạo hàm của hàm số này trên khoảng (-1;1), ta loại bỏ hai đầu mút.

Để tính đạo hàm của y=arcsinx trên khoảng (-1;1), ta sử dụng định nghĩa của hàm lượng giác ngược. Từ phương trình y=arcsinx, ta có: sin(y)=x. Áp dụng phép đạo hàm theo biến x cho cả hai vế của phương trình, ta được: cos(y) * y’=1.

Trên khoảng (-1;1), giá trị của y thuộc đoạn (-\pi/2;\pi/2), do đó cos(y) > 0. Khi đó, ta có cos(y)=\sqrt{1-\sin2(y)}=\sqrt{1-x2}. Thay vào phương trình trên, ta có y’=\dfrac{1}{\sqrt{1-x2}}. Vậy, đạo hàm của y=arcsinx là: (\arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x2}}, \forall x \in (-1;1).

Hàm số y=arccosx

đạo hàm là gì cách tính đạo hàm của hàm số yarcsinx yarccosx

Tương tự như lời giải của bài toán 1, với lưu ý rằng hàm số y=arccosx có giá trị y thuộc đoạn (0;\pi). Áp dụng phương pháp tương tự, ta có (\arccos x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x2}}, \forall x \in (-1;1).

Hệ quả (nguyên hàm)

Từ kết quả ở bài toán 1, ta có công thức nguyên hàm sau đây: ∫\frac{1}{\sqrt{1-x2}} dx = \arcsin x + C.

Cách tính đạo hàm của hàm số y=arcsinx, y=arccosx

Tính đạo hàm của hàm số y = arcsinx

Để tính đạo hàm của hàm số y = arcsinx, ta sử dụng quy tắc chuỗi đạo hàm. Đầu tiên, ta gán u = sinx và y = arcsinu. Khi đó, ta có u = sin(arcsinx) = x. Bây giờ, ta có thể tính đạo hàm của y theo u bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi đạo hàm:
dy/du = 1/sqrt(1 – u^2).

Tiếp theo, ta tính đạo hàm của u theo x:
du/dx = d/dx(sinx) = cosx.

Cuối cùng, ta áp dụng quy tắc chuỗi đạo hàm:
dy/dx = (dy/du) * (du/dx) = (1/sqrt(1 – u^2)) * cosx.

Do đó, ta có công thức tính đạo hàm của hàm số y = arcsinx:
dy/dx = (1/sqrt(1 – sin^2x)) * cosx.

Tính đạo hàm của hàm số y = arccosx

Tương tự như trường hợp của hàm số y = arcsinx, để tính đạo hàm của hàm số y = arccosx, ta cũng sử dụng quy tắc chuỗi đạo hàm. Gán u = cosx và y = arccosu. Khi đó, ta có u = cos(arccosx) = x.

Áp dụng quy tắc chuỗi đạo hàm, ta tính đạo hàm của y theo u:
dy/du = -1/sqrt(1 – u^2).

Tiếp theo, tính đạo hàm của u theo x:
du/dx = d/dx(cosx) = -sinx.

Cuối cùng, áp dụng quy tắc chuỗi đạo hàm:
dy/dx = (dy/du) * (du/dx) = (-1/sqrt(1 – u^2)) * (-sinx) = sinx/sqrt(1 – x^2).

Vậy, công thức tính đạo hàm của hàm số y = arccosx là:
dy/dx = sinx/sqrt(1 – x^2).

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu cách tính đạo hàm của hai hàm số y=arcsinx và y=arccosx.