Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba và bậc bốn trùng phương

Trong bài “Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số” thuộc chương trình toán giải tích lớp 12, chúng ta tìm hiểu về các dạng đồ thị của hàm số bậc ba và hàm số bậc bốn trùng phương.

Dạng đồ thị của hàm số bậc ba

Hàm số bậc ba có tổng cộng 6 dạng đồ thị khác nhau. Dưới đây là chi tiết về các dạng đồ thị này:

Dạng 1: Đồ thị tăng chặt trên toàn miền – Đồ thị nằm trên mặt phẳng xy và không cắt trục x hoặc cắt trục x tại một điểm duy nhất.
Dạng 2: Đồ thị giảm chặt trên toàn miền – Đồ thị nằm trên mặt phẳng xy và không cắt trục x hoặc cắt trục x tại một điểm duy nhất.
Dạng 3: Đồ thị có điểm uốn – Đồ thị có một điểm uốn, tức là đường cong thay đổi hướng từ tăng sang giảm hoặc từ giảm sang tăng.
Dạng 4: Đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm – Đồ thị cắt trục x tại ba điểm phân biệt và có thể tăng hoặc giảm trên các khoảng nằm giữa các điểm cắt.
Dạng 5: Đồ thị tăng chặt rồi giảm chặt – Đồ thị tăng chặt trên một khoảng và giảm chặt trên khoảng còn lại.
Dạng 6: Đồ thị giảm chặt rồi tăng chặt – Đồ thị giảm chặt trên một khoảng và tăng chặt trên khoảng còn lại.

Dạng đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương

đồ thị của hàm các dạng đồ thị hàm số bậc ba bậc bốn

Trái ngược với hàm số bậc ba, hàm số bậc bốn trùng phương chỉ có 4 dạng đồ thị. Dưới đây là các dạng đồ thị này:

Dạng 1: Đ ồ thị nằm trên mặt phẳng xy – Đồ thị không cắt trục x hoặc cắt trục x tại một điểm duy nhất.
Dạng 2: Đồ thị có điểm uốn – Đồ thị có một điểm uốn, tức là đường cong thay đổi hướng từ tăng sang giảm hoặc từ giảm sang tăng.
Dạng 3: Đồ thị cắt trục Ox tại hai điểm – Đồ thị cắt trục x tại hai điểm phân biệt và có thể tăng hoặc giảm trên khoảng nằm giữa các điểm cắt.
Dạng 4: Đồ thị không cắt trục Ox – Đồ thị không cắt trục x và không có điểm uốn.

Bạn có thể xem chi tiết các dạng đồ thị này trong các hình ảnh dưới đây.

Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba

Hàm số bậc ba là một loại hàm số có dạng chung là y=ax3+bx2+cx+d (với a ≠ 0).

Trường hợp 1: Đồ thị có hai điểm cực trị và dáng điệu tương tự như hình 1 hoặc hình 2

Trong trường hợp phương trình y’=0 có hai nghiệm phân biệt, đồ thị hàm số sẽ có hai điểm cực trị. Đồ thị có dáng điệu tương tự một trong hai hình sau:

Hình 1:Đồ thị có điểm cực trị ở đầu cao và điểm cực trị ở đáy thấp.

Hình 2:Đồ thị có điểm cực trị ở đầu thấp và điểm cực trị ở đáy cao.

Trường hợp 2: Đồ thị không có điểm cực trị và tiếp tuyến tại điểm uốn song song với trục hoành

Trong trường hợp phương trình y’=0 có một nghiệm kép, đồ thị hàm số sẽ không có điểm cực trị. Thay vào đó, nó sẽ có một điểm uốn và tiếp tuyến tại điểm uốn sẽ song song với trục hoành.

Trường hợp 3: Đồ thị không có điểm cực trị và tiếp tuyến tại điểm uốn không song song với trục hoành

Trong trường hợp phương trình y’=0 vô nghiệm, đồ thị hàm số cũng không có điểm cực trị. Tuy nhiên, tiếp tuyến tại điểm uốn sẽ không song song với trục hoành.

Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương

Hàm số bậc 4 trùng phương là một loại hàm số có dạng y = ax4+ bx2+ c (với a ≠ 0). Có thể phân thành hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: Phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt

Trong trường hợp này, đồ thị của hàm số bậc 4 trùng phương sẽ có 3 điểm cực trị và có dáng điệu như sau (tùy thuộc vào giá trị của a):

Trường hợp 1.1: a > 0 – Đồ thị có dạng mở lên ở hai đầu và có một điểm cực tiểu giữa.
Trường hợp 1.2: a < 0 – Đồ thị có dạng mở xuống ở hai đầu và có một điểm cực đại giữa.
Trường hợp 1.3: a = 0 – Đồ thị là một đường thẳng song song với trục hoành.

Trường hợp 2: Phương trình y’ = 0 có đúng 1 nghiệm

Trường hợp này, đồ thị của hàm số bậc 4 trùng phương sẽ có duy nhất một điểm cực trị và có dáng điệu của một parabol.

Thông qua bài viết này, bạn đã nắm được tổng cộng 6 dạng đồ thị của hàm số bậc ba và 4 dạng đồ thị của hàm số bậc 4 trùng phương. Hy vọng rằng bài viết đã giúp bạn giải đáp những câu hỏi của mình về chủ đề này.