Giai thừa là gì?

Giai thừa là một khái niệm trong toán học được sử dụng để tính toán các số học học bài đếm hoặc số lượng các cách sắp xếp các phần tử. Giai thừa của một số nguyên dương n được ký hiệu là n! và tính bằng tích của tất cả các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n.

Ví dụ:

giai thừa là gì 05 giai thừa là bao nhiêu

Chẳng hạn, 5! (đọc là “5 giai thừa”) bằng 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120.

0,5 giai thừa và (0,5)! bằng mấy?

(0,5) giai thừa, hay còn gọi là giai thừa gamma, là một khái niệm toán học được sử dụng để mở rộng khái niệm giai thừa cho các số không phải là số nguyên. Để tính (0,5) giai thừa, chúng ta sử dụng hàm Gamma.

Hàm Gamma:

Hàm Gamma là một hàm đặc biệt trong toán học được sử dụng để tính giá trị của giai thừa gamma. Hàm này được ký hiệu là Γ(x), trong đó x là một số thực dương.

Ví dụ:

Để tính (0,5)!, chúng ta sử dụng hàm Gamma: Γ(0,5). Giá trị của (0,5)! được tính toán bằng cách đưa số 0,5 vào hàm Gamma.

Hàm Gamma và các công thức liên quan

Trong toán học, hàm Gamma là một hàm số đặc biệt được đặt theo tên chữ cái Hy Lạp thứ ba (Gamma, viết hoa) và được đề xuất bởi nhà toán học Pháp Adrien-Marie Legendre. Hàm số này được định nghĩa thông qua một tích phân suy rộng:

Γ(z) = ∫0∞tz-1e-tdt

Dùng phương pháp tích phân từng phần, chúng ta có một quan hệ quan trọng:

Γ(z+1) = zΓ(z) (1)

Đồ thị của hàm Gamma có dạng như sau:

Công thức Euler

Một công thức quan trọng liên quan đến hàm Gamma là công thức Euler:

Γ(z)Γ(1-z) = π/sin(πz)

Khi thay z = 1/2 vào công thức trên, ta có:

Γ(1/2) = √π

Công thức Gauss

Công thức Gauss cũng là một công thức quan trọng liên quan đến hàm Gamma:

Γ(1/2+n) = (2n)! / (4nn!) √π = (2n-1)!! / (2n) √π

Γ(1/2-n) = (-1)n(2n)! / (-4nn!) √π = (-1)n(2n) / (2n-1)!! √π

Đây là những công thức quan trọng và hữu ích trong việc tính toán và nghiên cứu về hàm Gamma.

Định nghĩa giai thừa của số thực

Định nghĩa giai thừa của số thực có mối liên hệ gần giống với phép giai thừa của số tự nhiên. Để định nghĩa giai thừa của số thực, chúng ta sử dụng biểu thức (*) như sau:

z! = Γ(z+1) = ∫0∞tze-tdt, trong đó z là một số thực bất kỳ. Định nghĩa này cũng có thể được mở rộng lên tập số phức, tức là z ∈ ℂ.

Tất nhiên, định nghĩa này phải “tương thích” với phép giai thừa của số tự nhiên mà chúng ta đã biết. Điều này có nghĩa là khi z là một số tự nhiên, công thức trên phải trở về giá trị của giai thừa quen thuộc. Ví dụ, bằng cách tích phân từng phần, ta có:

1! = ∫0∞t e-tdt = e-t(-t – 1) |0∞= 1

Tương tự, chúng ta có thể tính toán giai thừa cho các số tự nhiên khác nhau. Định nghĩa giai thừa của số thực cung cấp một phương pháp toán học mạnh mẽ để xác định giai thừa của các số không phải là số tự nhiên.

Ví dụ về giai thừa số thực

Chúng ta sẽ xem xét một số ví dụ để thấy rõ kết quả “đẹp” của giai thừa số thực.

Ví dụ 1:

Để tính giai thừa của số -0,5, chúng ta có thể sử dụng công thức đặc biệt được biết đến là Công thức Gamma. Theo công thức này, giai thừa của -0,5 được tính như sau:

(-0,5)! = Γ(-0,5+1) = Γ(1/2) = √π