Trong bài đăng này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về việc có tồn tại số thực nằm giữa 0,(9) và 1. Bài viết sẽ giải thích lý do vì sao khẳng định 0,999… = 1 là chính xác dựa trên các mệnh đề toán học. Hãy cùng theo dõi để có câu trả lời cho câu hỏi này.
Có thể tồn tại số thực nằm giữa 0,(9) và 1 không?
Để làm rõ vấn đề này, chúng ta hãy xem xét một câu hỏi quan trọng: Nếu 0,(9) nhỏ hơn 1, thì số nào khác nằm giữa hai số này?
Chúng ta có thể chứng minh rằng không tồn tại số thực nào nằm giữa 0,(9) và 1 bằng cách sử dụng hai mệnh đề sau:
Mệnh đề 1:
Cho hai số thực a và b. Nếu a < b thì luôn tồn tại số thực c sao cho a < c < b.
Mệnh đề 2:
Không tồn tại số thực nằm giữa 0,(9) và 1.
Giả sử rằng tồn tại số thực c thỏa mãn 0,(9) < c < 1. Chúng ta sẽ sử dụng dãy số (u_n) để chứng minh rằng điều này không đúng.
Xét dãy số (u_n) với u_1 = 0,9, u_2 = 0,99, u_3 = 0,999, và tiếp tục như vậy. Ta có thể viết lại dãy số này như sau: u_n = 0,9 + 0,09 + 0,009 + … + 0,0…09, với n chữ số 9 sau dấu phẩy.
Rõ ràng, mọi số u_n đều nhỏ hơn c, cho mọi n thuộc tập số tự nhi ên. Từ đó, ta có phương trình sau:
Phương trình 1:
u_n < c, ∀ n ∈ ℕ*.
Từ phương trình 1, suy ra giới hạn khi n tiến tới vô cùng của dãy số u_n là nhỏ hơn hoặc bằng c:
Phương trình 2:
lim n → ∞ u_n ≤ c.
Tuy nhiên, ta có thể tính được giới hạn khi n tiến tới vô cùng của dãy số u_n như sau:
Phương trình 3:
lim n → ∞ u_n = lim n → ∞ (∑ k=1^n 9/(10^k)) = ∑ n=1^∞ 9/(10^n) = 9/(10 * (1 – 1/10)) = 1.
Vậy 1 ≤ c. Điều này trái với giả thiết ban đầu 0,(9) < c. Do đó, không tồn tại số thực nằm giữa 0,(9) và 1.
Điều này đã được chứng minh từ mệnh đề 1 và mệnh đề 2. Từ đó, chúng ta có thêm một cách chứng minh khác cho khẳng định rằng 0,(9) = 1.
Bài viết hy vọng đã giải đáp những câu hỏi của bạn về việc có tồn tại số thực nằm giữa 0,(9) và 1.
