Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn là phương trình của đường thẳng tiếp tuyến đi qua một điểm trên đường tròn. Để xác định phương trình tiếp tuyến của đường tròn biết tiếp tuyến đi qua một điểm M(x0,y0), ta cần tìm tâm I và bán kính R của đường tròn (C) và sử dụng phương trình tiếp tuyến Δ đi qua điểm M(x0,y0).

Xác định tâm và bán kính của đường tròn (C)

Để xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C), ta sử dụng phương trình tiếp tuyến Δ có vectơ pháp tuyến 𝑛(A,B) và đi qua điểm M(x0,y0) được mô tả bởi phương trình Δ: A(x-x0) + B(y-y0) = 0, với điều kiện (A2 + B2 ≠ 0).

Đồng thời, tiếp tuyến Δ sẽ tiếp xúc với đường tròn (C) khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm I đến tiếp tuyến Δ bằng bán kính R, tức là d(I, Δ) = R.

Ví dụ áp dụng

Xét đường tròn (C) với phương trình (x+3)2 + (y+1)2 = 1, và tiếp tuyến đi qua điểm M(-4,1).

phương trình tiếp tuyến của đường tròn biết tiếp tuyến đi qua điểm

Lời giải:Đường tròn (C) có tâm I(-3,-1) và bán kính R = 1. Tiếp tuyến Δ đi qua điểm M(-4,1) sẽ có phương trình dạng A(x+4) + B(y-1) = 0, tương đương với Ax + By + 4A – B = 0 (A2 + B2 ≠ 0).

Tiếp tuyến Δ sẽ tiếp xúc với đường tròn (C) khi và chỉ khi d(I,Δ) = R, tương đương với |A – 2B| / sqrt(A2 + B2) = 1.

Áp dụng biến đổi, ta thu được -4AB + 3B2 = 0, tương đương với B = 0 hoặc -4A + 3B = 0.

Nếu B = 0, chọn A = 1, ta có phương trình tiếp tuyến: x + 4 = 0.

Nếu -4A + 3B = 0, chọn A = 3 và B = 4, ta có phương trình tiếp tuyến: 3x + 4y + 8 = 0.

Vậy, đường tròn (C) có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán, tương ứng với các phương trình x + 4 = 0 và 3x + 4y + 8 = 0.