Tính ln(-1) và ln(i)

Trong tập số thực, giá trị của ln(-1) là không xác định. Tuy nhiên, trong tập số phức, ln(-1) tồn tại và có giá trị là một số phức “khá đẹp”. Trong bài viết này, chúng ta sẽ trình bày cách tính chính xác ln(-1) và ln(i).

Tính ln(-1)

Để tính chính xác giá trị của ln(-1), chúng ta có thể sử dụng khái niệm về số phức và định nghĩa của hàm ln. Khi biểu diễn số phức -1 dưới dạng số phức thuần khảo, ta có: -1 = e(iπ). Áp dụng tính chất lnez = z, ta có: ln(-1) = ln(e(iπ)) = iπ. Vì vậy, giá trị của ln(-1) là iπ.

Tính ln(i)

Để tính chính xác giá trị của ln(i), ta cũng sử dụng khái niệm về số phức và định nghĩa của hàm ln. Khi biểu diễn số phức i dưới dạng số phức thuần khảo, ta có: i = e(iπ/2). Áp dụng tính chất lnez = z, ta có: ln(i) = ln(e(iπ/2)) = iπ/2. Vì vậy, giá trị của ln(i) là iπ/2.

Tính ln(i) từ công thức Euler tổng quát

Để tính ln(i) từ công thức Euler tổng quát, ta sử dụng công thức sau: ln(i) = iπ/2 (Xem chứng minh đẳng thức trên tại đây). Vậy ta kết luận ln(i) = iπ/2.

Lưu ý: Hàm ln là hàm đa trị, vì vậy trong bài viết này, chúng ta sẽ sử dụng “giá trị chính” (principal value) của ln(z), với quy ước phần ảo thuộc khoảng (-π, π].