Những bài toán thiên niên kỷ Millennium Problems

Bài toán Thiên niên kỷ (Millennium Problems)

Bài toán Thiên niên kỷ là một tập hợp gồm bảy bài toán toán học đặc biệt mà ai đó có thể giải quyết mỗi bài sẽ nhận được một phần thưởng trị giá một triệu đô la. Đây là một phần thưởng do một tổ chức tư nhân nêu ra, nhằm đưa toán học trở lại vị trí xứng đáng của nó và giải quyết những câu hỏi lớn trong lĩnh vực này.

7 bài toán Thiên niên kỷ của Viện Toán Clay

Bảy bài toán này được đặt ra bởi viện Toán Clay và được coi là “thiên niên kỷ” theo tinh thần của Hilbert, tức là bao gồm toàn bộ các lĩnh vực trong toán học. Điều đặc biệt là việc đưa ra các bài toán không phải là do một cơ quan chính thức như Liên hiệp quốc tế toán học hay Hội toán học Pháp, mà lại là một cơ sở tư nhân.

Toán học hiện nay đã trở nên rất rộng lớn, không còn một nhà toán học “phổ quát” nữa. Không có một minh chủ nào có thể tỏa sáng trên tất cả các lĩnh vực và việc xung đột giữa các môn phái cũng nên được tránh. Do đó, việc đặt ra bài toán và tìm kiếm giải pháp từ cộng đồng toán học rộng lớn là điều cần thiết.

Giả thuyết Poincaré

Henri Poincaré (1854-1912) là một nhà vật lý học và toán học người Pháp, được coi là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất của thế kỷ 19. Một trong những bài toán nổi tiếng được gọi là ” giả thuyết Poincaré ” đã được đặt theo tên ông. Đây là một trong bảy bài toán của Thiên niên kỷ.

Phần thưởng và Hội đồng khoa học của Viện Clay

Hội đồng kho a học của Viện Clay là một tập hợp các chuyên gia kiệt xuất trong tất cả các lĩnh vực toán học. Andrew Wiles, người đã chứng minh “định lí cuối cùng của Fermat,” cũng là một thành viên của hội đồng này. Họ đã đưa ra 7 bài toán cho thế kỷ 21 theo tinh thần của Hilbert.

Giả thuyết Poincaré và Vấn đề P vs NP

Giả thuyết Poincaré , được đưa ra bởi nhà toán học Pháp Henri Poincaré vào năm 1904, là một trong những thách thức lớn nhất của toán học trong thế kỷ 20. Giả thuyết này liên quan đến việc cắt một quả bóng (hoặc một vật hình cầu) theo một đường cong khép kín không có điểm cắt nhau. Kết quả là quả bóng sẽ bị cắt thành hai mảnh vỡ. Tuy nhiên, khi áp dụng cùng phương pháp lên một cái phao (hoặc một vật hình xuyến), chỉ có một mảnh phao bị vỡ. Điều thú vị là trong hình học topo, quả bóng được coi là đối lập với cái phao và được xem là một dạng liên thông đơn giản.

Một điều được chứng minh dễ dàng là trong không gian ba chiều, mọi bề mặt liên thông đơn giản hữu hạn và không có biên đều là bề mặt của một vật hình cầu. Tuy nhiên, vào năm 1904, Henri Poincaré đã đặt ra câu hỏi quan trọng: liệu tính chất này có còn đúng trong không gian bốn chiều hay không. Điều đáng ngạc nhiên là các nhà toán học hình học topo đã chứng minh rằng tính chất này đúng trong các không gian có kích thước lớn hơn hoặc bằng năm chiều, nhưng chưa có ai chứng minh được tính chất này vẫn đúng trong không gian bốn chiều.

Vấn đề P vs NP

Vấn đề P vs NP liên quan đến khả năng giải quyết các bài toán trong nhóm P (bài toán có thể được giải trong thời gian đa thức) và nhóm NP (bài toán có thể được kiểm tra trong thời gian đa thức). Một câu hỏi đặt ra là: có tồn tại một thuật toán hiệu quả để giải quyết các bài toán thuộc nhóm NP hay không?

Để minh họa, giả sử bạn có một quyển từ điển và bạn cần tìm nghĩa của từ “thằn lằn”. Tra cứu nghĩa trong từ điển có thể được coi là một thuật toán trong nhóm P vì có thể thực hiện trong thời gian hợp lý. Tuy nhiên, tìm một từ phổ thông để diễn tả “loài bò sát có bốn chân, da có vảy ánh kim, thường ở bờ bụi” có thể là một bài toán thuộc nhóm NP vì việc tìm ra từ phù hợp có thể mất thời gian lớn hơn.

Câu trả lời cho vấn đề P vs NP vẫn chưa được xác định một cách chắc chắn. Nhà toán học Canada Stephen Cook là người đầu tiên đặt ra câu hỏi này một cách “toán học” vào năm 1971.

P và NP trong Lý thuyết tính toán

Trong lý thuyết tính toán , sử dụng ngôn ngữ lôgic của tin học, một nhà nghiên cứu đã định nghĩa một cách chính xác tập hợp những vấn đề mà người ta thẩm tra kết quả dễ hơn (gọi là tập hợp P), và tập hợp những vấn đề mà người ta dễ tìm ra hơn (gọi là tập hợp NP). Liệu hai tập hợp này có trùng nhau không?

Các nhà lôgic học khẳng định rằng P khác NP. Họ tin rằng tồn tại những vấn đề rất khó tìm ra lời giải, nhưng lại dễ thẩm tra kết quả. Một ví dụ để hiểu được điều này là việc tìm ra số chia của 13717421, điều này là một vấn đề rất phức tạp, nhưng rất dễ kiểm tra rằng 3607 x 3808 = 1371742. Đây chính là nền tảng của phần lớn các loại mật mã: rất khó giải mã, nhưng lại dễ kiểm tra mã có đúng không. Tuy nhiên, cho đến nay, vẫn chưa có ai chứng minh được sự khác biệt này.

Ý nghĩa của P và NP

“Nếu P=NP, mọi giả thuyết của chúng ta đến nay là sai,” như Stephen Cook đã báo trước. Một mặt, điều này sẽ giải quyết được rất nhiều vấn đề tin học ứng dụng trong công nghiệp; nhưng mặt khác lại sẽ phá hủy sự bảo mật của toàn bộ các giao dịch tài chính thực hiện qua Internet. Do đó, các ngân hàng đều hoảng sợ trước vấn đề này vốn mang tính quyết định.

Các phương trình của Yang-Mills

Các nhà toán học luôn chậm chân hơn các nhà vật lý. Trong lĩnh vực vật lý, từ lâu các nhà vật lý đã sử dụng các phương trình của Yang-Mills trong các máy gia tốc hạt trên toàn th ế giới. Tuy nhiên, các nhà toán học vẫn chưa thể xác định chính xác số nghiệm của các phương trình này.

Các phương trình của Yang-Mills đã được xác lập vào những năm 50 bởi các nhà vật lý Mỹ là Chen Nin Yang và Robert Mills. Các phương trình này đã biểu diễn mối quan hệ mật thiết giữa vật lý về hạt cơ bản với hình học của các không gian sợi.

Sự phát triển của hình học và các tương tác vật lý

Nghiên cứu về hình học hiện đại đã cho thấy sự thống nhất của hình học với phần trung tâm của thể giới lượng tử. Thể giới lượng tử bao gồm các tương tác tác yếu, mạnh và tương tác điện từ. Tuy nhiên, cho đến nay, chỉ có các nhà vật lý mới sử dụng chúng để nghiên cứu. Giả thuyết Hodge Euclide không thể giải thích được hiện tượng hình học trong ngữ cảnh hiện đại của chúng ta.

Tính đồng đẳng và phát triển của hình học

Trong thế kỷ XX, các khái niệm đại số đã thay thế các đường thẳng và đường tròn trong hình học vì chúng mang tính khái quát và hiệu quả hơn. Các nhà khoa học đã dần chuyển từ nghiên cứu các hình khối và không gian đến việc nghiên cứu tính đồng đẳng trong hình học. Mặc dù đã có những tiến bộ đáng kinh ngạc trong việc phân loại các thực thể toán học, nhưng việc mở rộng các khái niệm đã khiến bản chất hình học dần dần biến mất trong toán học.

Giả thuyết Hodge và sự phân loại các không gian

Vào năm 1950, nhà toán học người Anh William Hodge đã đưa ra giả thuyết rằng trong một số dạng không gian, các thành phần của tính đồng đẳng sẽ tìm lại bản chất hình học của chúng. Ý tưởng này đã được ông áp dụng để phân loại các không gian trong toán học. Giả thuyết của Hodge là một trong 23 vấn đề mà nhà toán học Hilbert đã đề ra cách đây nhiều năm.

Giả thuyết Riemann và vai trò của các số nguyên tố

Giả thuyết Riemann , được đưa ra bởi nhà toán học người Đức Bernard Riemann vào năm 1850, liên quan đến các giá trị không phù hợp với hàm số được đưa ra bởi nhà toán học Leonard Euler từ thế kỷ XVIII. Giả thuyết này tập trung vào các số nguyên tố, tức là những số chỉ có thể chia hết cho 1 và chính nó. Mặc dù cách chia các số nguyên tố này dường như không tuân theo quy tắc nào, nhưng nó có mối liên kết chặt chẽ với một hàm số đặc biệt. Nhiều nhà toán học đã nỗ lực để chứng minh giả thuyết Riemann trong suốt 150 năm qua, kiểm tra tính đúng đắn của nó trên hàng tỷ giá trị, nhưng cho đến nay vẫn chưa thể chứng minh được.

Vấn đề quan trọng trong toán học

Trong lĩnh vực toán học , có những vấn đề được coi là quan trọng hơn cả. Theo nhà toán học Enrico Bombieri, giáo sư tại trường Đại học Princeton, đây là vấn đề quan trọng nhất của toán học cơ bản. Đồng ý với ý kiến này, David Hilbert cũng xác định rằng vấn đề này đặt ra một thách thức quan trọng cho con người.

Giả thuyết Riemann

Bernhard Riemann (1826-1866), một nhà toán học người Đức, đã đưa ra giả thuyết Riemann vào năm 1850. Đây là một bài toán vô cùng quan trọng trong cả lý thuyết số và toán học hiện đại. Giả thuyết Riemann có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất của các hàm số lý thuyết số và các số nguyên tố. Đến nay, giả thuyết này vẫn là một vấn đề chưa được giải quyết hoặc xác định chính xác về số lượng nghiệm.

Phương trình của Navier-Stokes

Phương trình của Navier-Stokes mô tả hình dạng của sóng, xoáy lốc không khí, chuyển động của khí quyển và hình thái của các thiên hà trong thời điểm nguyên thủy của vũ trụ. Các nhà toán học Henri Navier và George Stokes đã đưa ra những phương trình này cách đây 150 năm. Được xây dựng dựa trên định luật chuyển động của Newton áp dụng cho chất lỏng và chất khí, nhưng đến nay, phương trình của Navier-Stokes vẫn là một bí ẩn trong toán học. Không chỉ chưa có giải pháp chính xác, ngay cả việc xác định số lượng nghiệm cũng là một vấn đề chưa được giải quyết. Nhà toán học Charles Fefferman cho rằng hiểu biết của chúng ta về phương trình này vẫn còn rất hạn chế.

Giả thuyết của Birch và Swinnerton-Dyer

Một vấn đề quan trọng khác trong toán học là giả thuyết của Birch và Swinnerton-Dyer. Vấn đề này liên quan đến việc tìm những số nguyên thỏa mãn phương trình x2+ y2= z2. Mặc dù có một số nghiệm dễ thấy như 32+ 42= 52, nhưng vấn đề đặt ra là liệu phương trình này có vô số nghiệm hay không. Đã hơn 2300 năm trước, Euclide đã chứng minh rằng phương trình này có vô số nghiệm, tuy nhiên, đây vẫn là một vấn đề đáng quan tâm trong toán học hiện đại.

Phương trình có hệ số và số mũ phức tạp

Hiển nhiên, việc giải quyết các phương trình có hệ số và số mũ phức tạp không đơn giản như vậy. Trong suốt 30 năm qua, đã được biết rằng không có phương pháp chung nào cho phép tìm ra tất cả các nghiệm nguyên của các phương trình dạng này.

Giả thuyết số nghiệm của phương trình phụ thuộc vào hàm số f

Đối với nhóm phương trình quan trọng nhất có đồ thị là các đường cong êlip loại 1, hai nhà toán học người Anh Bryan Birch và Peter Swinnerton-Dyer đã đưa ra giả thuyết rằng số nghiệm của phương trình này phụ thuộc vào một hàm số f. Nếu hàm số f triệt tiêu tại giá trị bằng 1 (nghĩa là f(1) = 0), phương trình có vô số nghiệm. Ngược lại, nếu không, số nghiệm là hữu hạn. Tuy giả thuyết này được các nhà toán học nghĩ đến, nhưng đến nay vẫn chưa ai chứng minh được.

Sự vắng bóng của Giải tích hàm

Ngành Giải tích hàm , một lãnh vực quan trọng trong nghiên cứu toán học, đã trở nên vắng bóng. Lý do đơn giản là những bài toán quan trọng nhất của Giải tích hàm đã được giải quyết và cộng đồng toán học đang chờ đợi để tìm ra những bài toán mới.

Bài toán thế kỉ 21

Có tổng cộng 7 bài toán đã được đặt ra cho thế kỉ 21, và không phải bài toán nào cũng phát sinh từ thế kỉ 20. Một trong những bài toán đó là bài toán P-NP do Stephen Cook đưa ra năm 1971, mang tính chất của lôgic và tin học. Tuy nhiên, bài toán số 4 là giả thuyết Riemann đã được đưa ra từ thế kỉ 19 và là một trong 3 bài toán Hilbert vẫn chưa được giải đáp!

Giai tho ại vui

Vài ngày trước khi 7 bài toán trị giá 1 triệu đôla được công bố, nhà toán học Nhật Bản Matsumoto, người sống và làm việc ở Paris, tuyên bố đã chứng minh được giả thuyết Riemann. Tuy nhiên, đáng tiếc rằng đó là lần thứ 3 ông tuyên bố như vậy.

Matsumoto – Nhà toán học triệu phú đầu tiên của thế kỷ 21?

Matsumoto, một nhà toán học đầy tài năng, có thể trở thành nhà toán học triệu phú đầu tiên của thế kỷ 21. Hiện tại, vẫn chưa có thông tin chính thức về việc anh ta đã chứng minh thành công bất kỳ một bài toán nào. Tuy nhiên, giữa số 7 bài toán nổi tiếng, đã có một bài toán được chứng minh thành công, đó là giả thuyết Poincaré.

Giả thuyết Poincaré – Chứng minh bởi Grigori Perelman

Vào cuối năm 2002, nhà toán học người Nga Grigori Perelman tại Viện toán học Steklov ở St. Petersburg, Nga đã công bố thành công chứng minh cho giả thuyết Poincaré. Đây là một bước tiến lớn trong lĩnh vực toán học và đã thu hút sự chú ý của cộng đồng toán học trên toàn thế giới.

Giả thuyết Riemann – Chờ đợi chứng minh từ Louis De Branges

Vào tháng 6 năm 2004, tin tức về việc chứng minh giả thuyết Riemann của nhà toán học Louis De Branges ở Đại học Purdue cũng được công bố. Tuy nhiên, hiện tại, chứng minh này đang trong giai đoạn kiểm tra để đảm bảo tính chính xác. Giả thuyết Riemann được xem là một trong những bài toán quan trọng nhất trong lĩnh vực toán học hiện đại.

Vai trò của giả thuyết Poincaré và giả thuyết Riemann

Cả hai giả thuyết Poincaré và giả thuyết Riemann đều thuộc loại bài toán “xương” nhất trong số 7 bài toán thiên niên kỷ. Điều này có ý nghĩa đặc biệt vì chúng đóng vai trò quan trọng trong lĩnh vực của chính nó và toán học hiện đại nói chung. Đặc biệt, giả thuyết Riemann là một bài toán có ảnh hưởng rất lớn trong nhiều lĩnh vực toán học.

Chúng ta đang chờ đợi sự thẩm định chính thức từ các nhà toán học về vi ệc chứng minh giả thuyết Riemann của Louis De Branges. Sự thành công trong việc chứng minh những bài toán này sẽ mang lại những bước tiến đáng kể cho toán học và khám phá sự hiểu biết của con người về thế giới chúng ta sống.

1. Ai là thành viên của Hội đồng khoa học của Viện Clay?
Hội đồng khoa học của Viện Clay bao gồm các chuyên gia kiệt xuất trong tất cả các lĩnh vực toán học, trong đó có Andrew Wiles.

2. Andrew Wiles đã đóng góp gì cho lĩnh vực toán học?
Andrew Wiles đã chứng minh “định lí cuối cùng của Fermat,” một trong những thành tựu quan trọng trong lịch sử toán học.