Tại sao không thể dùng quy tắc L’Hospital cho giới hạn này?
Trong toán học, quy tắc L’Hospital (được gọi chính xác là quy tắc l’Hôpital) là một công cụ hữu ích để tính giới hạn của các hàm. Tuy nhiên, có một số trường hợp đặc biệt mà quy tắc này không thể được áp dụng. Một trong những trường hợp đó là khi tính giới hạn sau đây: lim_{x \to 0} \dfrac{sinx}{x}.
Nguyên nhân không thể dùng quy tắc L’Hospital
Việc không thể áp dụng quy tắc L’Hospital cho giới hạn trên có nguyên nhân là do trong chứng minh (sinx)’= cosx, người ta phải dùng đến kết quả lim_{t \to 0} \dfrac{sin(t)}{t} = 1. Tuy nhiên, khi áp dụng quy tắc L’Hospital cho giới hạn ban đầu, ta lại nhận được dạng vô hạn/infinity, không thể đưa về dạng có giá trị xác định.
Tính giới hạn lim_{x \to 0} \dfrac{sinx}{x}
Để tính giới hạn này, ta có thể sử dụng một phương pháp khác như sử dụng khái niệm đạo hàm. Bằng cách này, ta có thể chứng minh rằng lim_{x \to 0} \dfrac{sinx}{x} = 1.
Cách tính giới hạn bằng cách sử dụng khái niệm đạo hàm:
- Đặt h = x – 0 = x.
- Tính đạo hàm của hàm số f(x) = sinx tại điểm x = 0, ký hiệu là f'(0).
- Áp dụng định nghĩa của đạo hàm, ta có f'(0) = lim_{h \to 0} \dfrac{f(h) – f(0)}{h} = lim_{x \to 0} \dfrac{sinx – sin0}{x – 0} = lim_{x \to 0} \dfrac{sinx}{x}.
- Với hàm số f(x) = sinx, ta có f'(0) = cos0 = 1.
- Do đó, lim_{x \to 0} \dfrac{sinx}{x} = 1.
Vậy, bằng cách sử dụng khái niệm đạo hàm, ta có thể tính được giới hạn lim_{x \to 0} \dfrac{sinx}{x} và kết quả là 1.
Bài viết này đã giải đáp những câu hỏi về việc tại sao không thể dùng quy tắc L’Hospital cho giới hạn lim_{x \to 0} \dfrac{sinx}{x}. Hy vọng nội dung trên đã giúp bạn hiểu rõ hơn về vấn đề này.
