Hai số được gọi là 2 số nguyên tố cùng nhau khi chúng có ước số chung lớn nhất bằng 1. Điều này cũng có nghĩa là hai số không có ước số chung ngoài 1.

Số nguyên tố là gì?

Số nguyên tố là số tự nhiên chỉ có hai ước số dương là 1 và chính nó. Nói cách khác, số nguyên tố không chia hết cho bất kỳ số tự nhiên nào khác ngoài 1 và chính nó.

Dãy số nguyên tố

Các số nguyên tố đầu tiên trong dãy số nguyên tố là: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97…

Một số tính chất thú vị về số nguyên tố

Số nguyên tố lớn nhất có 1 chữ số là 7
Số nguyên tố lớn nhất có 2 chữ số là 97
Số nguyên tố nhỏ nhất có 1 chữ số là 2
Số nguyên tố nhỏ nhất có 2 chữ số là 11
Số nguyên tố nhỏ nhất có 3 chữ số là 101
Tập hợp số nguyên tố là vô hạn: Chỉ có số nguyên tố nhỏ nhất là 2 nhưng không có số nguyên tố lớn nhất
2 là số nguyên tố nhỏ nhất và cũng là số nguyên tố chẵn duy nhất

Số nguyên tố và số nguyên tố cùng nhau

Trong toán học, số nguyên tố và số nguyên tố cùng nhau là hai khái niệm quan trọng. Số nguyên tố là số chỉ có 2 ước số là 1 và chính nó. Số nguyên tố cùng nhau là hai số có ước số chung lớn nhất là 1.

Các ví dụ về số nguyên tố và số nguyên tố cùng nhau

7 và 9 là số nguyên tố cùng nhau vì ước chung lớn nhất của chúng là 1.
6 và 9 không phải là số nguyên tố cùng nhau vì ước chung lớn nhất của chúng là 3.
Số 1 là số nguyên tố cùng nhau với mọi số nguyên tố.
Một vài cặp số nguyên tố cùng nhau như: 5 và 9, 8 và 9, 9 và 11, 11 và 15.

Trả lời câu hỏi: Có hai số nguyên tố cùng nhau nào mà cả hai đều là hợp số không?

Có hai số nguyên tố cùng nhau nào mà cả hai đều là hợp số. Ví dụ: 4 và 9. Thật vậy 4 = 2²; 9 = 3², chúng là những hợp số mà không có ước nguyên tố nào chung. Vì thế ƯCLN (4, 9) = 1; nghĩa là 4 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Tính chất số nguyên tố cùng nhau

Các điều kiện sau tương đương với điều kiện và b là số nguyên tố cùng nhau:

Tồn tại các số nguyên x và y sao cho ax + by = 1 (Đẳng thức Bézout).
Số nguyên b là khả nghịch theo modulo a: nghĩa là tồn tại số nguyên y sao cho by ≡ 1 (mod a). Nói cách khác, b là một đơn vị trong vành Z/aZ của các số nguyên modulo a.

Thêm vào đó, nếu a và b là số nguyên tố cùng nhau và br ≡ bs (mod a), thì r ≡ s (mod a) (vì ta có thể chia cho b khi theo modulo a). Tiếp theo, nếu a và b1 là số nguyên tố cùng nhau, và a và b2 cũng nguyên tố cùng nhau, thì a và b1b2 cũng là số nguyên tố cùng nhau (vì tích của các đơn vị lại là đơn vị).

Hình 1 dưới đây cho thấy các số 4 và 9 là số nguyên tố cùng nhau vì đường chéo không đi qua điểm nguyên nào trong hình chữ nhật.

Bài tập ứng dụng phần số nguyên tố

Bài 1:

Cho dãy số gồm 2 chữ số: 2, 10, hãy xác định 2 số đó có là số nguyên tố cùng nhau không?

Ước chung lớn nhất của 2 và 10 là 2 vì:

ƯCLN(2,10) = 2

Vậy suy ra, số 2 và 10 không phải là số nguyên tố cùng nhau.

Bài 2:

Tìm ước số chung lớn nhất của 6 và 15.

Ước số của 6 là <1,2,3,6>

Ước số của 15 là <1,3,5>

Vậy suy ra hai số này có ước số chung lớn nhất là số 3.

Bài 3:

Hai số 24 và 35 có nguyên tố cùng nhau không? Vì sao?

Để biết hai số có phải là hai số nguyên tố cùng nhau hay không, ta đi tìm ƯCLN của hai số đó, nếu ƯCLN của hai số là 1 thì hai số đó là hai số nguyên tố cùng nhau. Do đó:

ƯCLN(24,35) = 1

Vậy suy ra hai số 24 và 35 là hai số nguyên tố cùng nhau.