Giả thuyết Riemann là một bài toán quan trọng trong lĩnh vực toán học và đã tồn tại trong hơn 140 năm. Bài toán này đã được đưa vào danh sách 23 bài toán quan trọng của thế kỷ 20 bởi Hilbert tại Đại hội Toán học Thế giới năm 1900 ở Paris. Tuy nhiên, không phải là thời kỳ hấp dẫn nhất trong lịch sử bài toán, nhưng những năm gần đây đã chứng kiến một sự bùng nổ trong nghiên cứu giả thuyết Riemann. Điều này được khởi xướng bởi sự kết hợp giữa một số lĩnh vực trong toán học và vật lý.
Chứng minh giả thuyết Riemann
Trong 6 năm qua, Viện Toán học Mỹ (AIM – American Institute of Mathematics) đã tài trợ cho 3 đề án tập trung vào giả thuyết Riemann. Một trong số đó là đề án RHI được tổ chức tại Seattle vào tháng 8 năm 1996, tại Đại học Washington (University of Washington).
Bài viết này được viết bởi J. Brian Conrey, Giám đốc Viện Toán học Mỹ, và đã nhận được giải thưởng 2008 AMS Levi L. Conant cho các bài viết xuất sắc nhất trên các tạp chí Notices of the AMS và Bulletin of the AMS. Trong bài viết, J. Brian Conrey cung cấp một cái nhìn tổng quan về giả thuyết Riemann, từ lịch sử bài toán đến những bước tiến gần đây. Bạn đọc quan tâm có thể đọc nguyên bản bài viết tại địa chỉ ams.org/notices/200303/fea-conrey-web.pdf.
Giả thuyết Riemann và các dự án liên quan
Nghiên cứu về giả thuyết Riemann đã làm nên những bước tiến quan trọng trong lĩnh vực toán học. Có ba đề án quan trọng đã được thực hiện nhằm khích lệ nghiên cứu và thảo luận về giả thuyết này.
Nơi thứ hai: Viện Schrodinger, Vienna, 1998
Vào tháng năm 1998, tại Viện Schrodinger (Erwin Schrodinger Institute) ở Vienna, m ột cuộc hội thảo (RHII) đã được tổ chức để khám phá các khía cạnh của giả thuyết Riemann. Cuộc hội thảo này đã tạo điều kiện cho các nhà toán học gặp gỡ, trao đổi và nghiên cứu nhằm tiến gần hơn tới lời giải cho một trong những thách thức lớn nhất của toán học.
Nơi thứ ba: Viện Toán Courant, New York, 2002
Vào tháng 5 năm 2002, tại Viện Toán Courant (Courant Institute of Mathematical Sciences) ở New York, một sự kiện quan trọng khác (RHIII) đã diễn ra để tiếp tục khám phá giả thuyết Riemann. Cuộc hội thảo này đã tạo cơ hội để xem xét những hướng tiếp cận khác nhau đối với giả thuyết này và đồng thời trao đổi ý kiến giữa các nhà nghiên cứu.
Mục tiêu của cả ba đề án này là khích lệ nghiên cứu và thảo luận về một trong những thách thức lớn nhất của toán học – giả thuyết Riemann. Các nhà toán học đã nỗ lực để tiến gần hơn tới lời giải cho giả thuyết này và từ đó có thể đưa ra những phát hiện mới trong lĩnh vực hàm zeta và các lĩnh vực liên quan.
Các thành viên trong các đề án này tiếp tục cộng tác với nhau trên trang web http://www.aimath.org/WWN/rh/, nơi cung cấp một cái nhìn tổng quan về chủ đề này.
Giả thuyết Riemann và hàm zeta
Giả thuyết Riemann là một khái niệm quan trọng trong toán học. Năm 1859, trong một báo cáo seminar “Ueber die Anzahl der Primzahlen unter eine gegebener Grosse”, nhà toán học G. B. F. Riemann đã đề cập đến một số tính chất giải tích căn bản của hàm zeta.
Giả thuyết Riemann khẳng định rằng chuỗi của hàm zeta hội tụ nếu phần thực của biến số lớn hơn một. Riemann đã chứng minh rằng hàm zeta có thể được mở rộng bởi sự liên tục thành một hàm giải tích trên mặt phẳng phức ngoại trừ tại một điểm đặc biệt. Thậm chí, ông còn chứng minh rằng hàm zeta thỏa mãn một phương trình hàm thú vị, trong đó hàm Gamma (Gamma-function) đóng một vai trò quan trọng.
Các nhà toán học đã tiếp tục nghiên cứu và khám phá nhiều tính chất thú vị của hàm zeta dựa trên những khám phá ban đầu của Riemann. Hình 1: Thực tế, trước đó, hàm zeta đã được nghiên cứu bởi Euler và nhiều nhà toán học khác, nhưng chỉ dưới dạng một hàm với biến số thực. Các dự án nghiên cứu về giả thuyết Riemann đã mở ra những cánh cửa mới trong lĩnh vực này và tiếp tục làm sáng tỏ các khía cạnh khác nhau của hàm zeta.
Chứng minh giả thuyết của Gauss với tích Euler
Theo Euler, tích vô hạn (còn được gọi là tích Euler) được lấy trên tất cả các số nguyên tố. Tích này hội tụ khi phần thực của số lớn hơn 1. Đây là một phiên bản giải tích cho định lý cơ bản của số học, rằng mỗi số nguyên có thể phân tích một cách duy nhất thành các thừa số nguyên tố.
Euler đã sử dụng tích này để chứng minh rằng tổng nghịch đảo của các số nguyên tố không bị chặn. Tích Euler đã thu hút sự quan tâm của Riemann tới hàm zeta. Riemann đã tạo ra một bước tiến lớn tới giả thuyết của Gauss. Ông nhận ra rằng số phân bố các số nguyên tố phụ thuộc vào sự phân bố các không điểm của hàm zeta.
Công thức của Riemann
Riemann đưa ra một công thức tổng quát cho số không điểm của hàm zeta phụ thuộc vào các không điểm phức của hàm. Một dạng đơn giản của công thức nói rằng số không điểm là đúng nếu số đó không phải là lũy thừa của một số nguyên tố. Trong đó, hàm von Mangoldt đúng nếu với một số nguyên dương nào đó, và ngược lại.
Chú ý r ằng tổng này không hội tụ tuyệt đối. Do đó, có nhiều vô hạn các không điểm. Ở đây, tổng tính trên s với số bội n và được hiểu là ns. Chú ý rằng s không thể là lũy thừa của một số nguyên tố, để chứng minh rằng không có không điểm nào có phần thực nhỏ hơn 1, một cách phát biểu khác của giả thuyết Gauss.
Định lý số nguyên tố và giả thuyết Riemann
Định lý số nguyên tố (Prime Number Theorem) là một kết quả quan trọng trong lý thuyết số, được chứng minh bởi Hadamard và de la Vallée Poussin vào năm 1896. Định lý này khẳng định rằng số lượng các số nguyên tố không vượt quá một số x nào đó xấp xỉ bằng tỷ lệ 1/ln(x). Định lý số nguyên tố đã đóng góp quan trọng cho việc hiểu sâu hơn về tính chất phân bố của các số nguyên tố.
Một mối liên hệ thú vị giữa giả thuyết Riemann và định lý số nguyên tố là sự xuất hiện của hàm Mobius và chuỗi Dirichlet. Hàm Mobius và chuỗi Dirichlet đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu các tính chất của các số nguyên tố.
Một tương đương dễ thấy khác của giả thuyết Riemann là khẳng định rằng với mọi số tự nhiên T, tồn tại một hằng số c > 0 sao cho số lượng các không điểm phức của hàm Riemann zeta với phần th ực nằm trong khoảng [T, T+c*ln(T)] xấp xỉ bằng c*ln(T). Đây là một kết quả quan trọng liên quan đến phân bố của các không điểm phức của hàm Riemann zeta.
