Trong lĩnh vực toán học, căn bậc hai của 2 là một vấn đề được nghiên cứu và đã được chứng minh là một số vô tỉ. Dưới đây, chúng ta sẽ trình bày hai phương pháp chứng minh khác nhau để làm rõ điều này.

Phương pháp phản chứng thứ nhất

Đầu tiên, để chứng minh căn bậc hai của 2 là một số vô tỉ, ta sử dụng phương pháp phản chứng . Giả sử rằng căn bậc hai của 2 là một số hữu tỉ, tức là có thể biểu diễn dưới dạng phân số tối giản a/b, trong đó a và b là hai số nguyên không có ước chung.

Áp dụng định nghĩa của căn bậc hai, ta có:

(a/b)^2 = 2

Tương đương với:

a^2 = 2b^2

Biểu diễn phương trình trên dưới dạng chia hết, ta nhận thấy rằng a^2 phải chia hết cho 2. Theo định lý chia hết, nếu một số nguyên chẵn chia hết cho 2, thì số đó cũng chia hết cho 2. Vì vậy, ta suy ra rằng a phải là số chẵn.

Giả sử a là số chẵn, ta có thể viết lại a dưới dạng a = 2k, trong đó k là một số nguyên.

Thay thế a = 2k vào phương trình ta có:

(2k)^2 = 2b^2

Tương đương với:

4k^2 = 2b^2

chứng minh căn bậc hai của 2 là một số vô tỉ bằng phản chứng

Tiếp tục rút gọn, ta có:

2k^2 = b^2

Từ đây, ta suy ra rằng b^2 chia hết cho 2. Tương tự như trường hợp của a, ta có thể suy ra rằng b cũng là số chẵn.

Tuy nhiên, giả sử a và b đều là số chẵn, điều này mâu thuẫn với giả sử ban đầu rằng a/b là một phân số tối giản. Vậy nên giả sử đầu tiên của chúng ta là sai.

Phương pháp phản chứng thứ hai

Chúng ta có thể sử dụng một phương pháp phản chứng khác để chứng minh căn bậc hai của 2 là một số vô tỉ. Giả sử rằng căn bậc hai của 2 là một số hữu tỉ, tức là có thể biểu diễn dưới dạng phân số tối giản c/d, trong đó c và d là hai số nguyên không có ước chung.

Áp dụng định nghĩa của căn bậc hai, ta có:

(c/d)^2 = 2

Tương đương với:

c^2 = 2d^2

Biểu diễn phương trình trên dưới dạng chia hết, ta nhận thấy rằng c^2 phải chia hết cho 2. Từ đó, ta suy ra rằng c cũng là số chẵn.

Giả sử c là số chẵn, ta có thể viết lại c dưới dạng c = 2m, trong đó m là một số nguyên.

Thay thế c = 2m vào phương trình ta có:

(2m)^2 = 2d^2

Tương đương với:

4m^2 = 2d^2

Tiếp tục rút gọn, ta có:

2m^2 = d^2

Từ đây, ta suy ra rằng d^2 chia hết cho 2. Tương tự như trường hợp của c, ta có thể suy ra rằng d cũng là số chẵn.

Tuy nhiên, giả sử c và d đều là số chẵn, điều này mâu thuẫn với giả sử ban đầu rằng c/d là một phân số tối giản. Vậy nên giả sử thứ hai của chúng ta cũng là sai.

Kết luận

Trên cơ sở hai phương pháp phản chứng trên, chúng ta đã chứng minh được rằng căn bậc hai của 2 không thể biểu diễn dưới dạng phân số tối giản. Do đó, chúng ta kết luận rằng căn bậc hai của 2 là một số vô tỉ.