Công thức nhân năm trong lượng giác là một công thức đẹp và có sự tương đồng giữa công thức tính sin(5x) và cos(5x). Dưới đây là công thức nhân năm:
Công thức nhân năm
Với mọi x thuộc tập số thực, ta có:
sin(5x) = 16sin(5)x – 20sin(3)x + 5sin(x)
cos(5x) = 16cos(5)x – 20cos(3)x + 5cos(x)
Chứng minh công thức nhân 5:
Có một cách phổ biến để chứng minh công thức nhân 5 là bằng cách viết 5x = 3x + 2x, sau đó sử dụng công thức cộng lượng giác, công thức nhân đôi và công thức nhân ba để khai triển. Đây là chi tiết cách chứng minh:
Cách 1: Sử dụng công thức cộng lượng giác, công thức nhân đôi và công thức nhân ba
Đầu tiên, chúng ta viết 5x = 3x + 2x. Tiếp theo, sử dụng công thức cộng lượng giác, công thức nhân đôi và công thức nhân ba để khai triển:
cos(5x) + i*sin(5x) = (cos(x) + i*sin(x))^5
cos(5x) + i*sin(5x) = cos^5(x) + 5i*cos^4(x)*sin(x) + 10i^2*cos^3(x)*sin^2(x) + 10i^3*cos^2(x)*sin^3(x) + 5i^4*cos(x)*sin^4(x) + i^5*sin^5(x)
cos(5x) + i*sin(5x) = cos(5x) – 10*cos(3x)*sin(2x) + 5*cos(x)*sin(4x) + i*(sin(5x) – 10*cos(2x)*sin(3x) + 5*cos(4x)*sin(x))
Từ đó, chúng ta có:
cos(5x) = cos(5x) – 10*cos(3x)*sin(2x) + 5*cos(x)*sin(4x)
sin(5x) = sin(5x) – 10*cos(2x)*sin(3x) + 5*cos(4x)*sin(x)
Qua cách chứng minh này, ta đã xác minh được cả hai công thức đồng thời.
Cách 2: Sử dụng kiến thức về số phức
Trong cách này, chúng ta chứng minh đồng thời cả hai công thức bằng kiến thức về số phức. Theo công thức Moivre, ta có:
cos(5x) + i*sin(5x) = (cos(x) + i*sin(x))^5
cos(5x) + i*sin(5x) = cos^5(x) + 5i*cos^4(x)*sin(x) + 10i^2*cos^3(x)*sin^2(x) + 10i^3*cos^2(x)*sin^3(x) + 5i^4*cos(x)*sin^4(x) + i^5*sin^5(x)
cos(5x) + i*sin(5x) = cos(5x) – 10*cos(3x)*sin(2x) + 5*cos(x)*sin(4x) + i*(sin(5x) – 10*cos(2x)*sin(3x) + 5*cos(4x)*sin(x))
Do đó, ta có:
cos(5x) = cos(5x) – 10*cos(3x)*sin(2x) + 5*cos(x)*sin(4x)
sin(5x) = sin(5x) – 10*cos(2x)*sin(3x) + 5*cos(4x)*sin(x)
Đây là cách chứng minh sử dụng kiến thức về số phức, giúp chứng minh cả hai công thức cùng một lúc.
Lưu ý: Nếu công thức Toán bị tràn màn hình, hãy xoay ngang màn hình điện thoại để có thể đọc được đầy đủ nội dung.
Bài viết này hy vọng giải đáp những câu hỏi của bạn về công thức nhân năm để tính sin(5x) và cos(5x).
