Trong toán học, hàm số lượng giác ngược là một loại hàm số ngược của các hàm lượng giác cơ bản như sin, cos và tan. Hàm số lượng giác ngược thường được ký hiệu bằng cách thêm tiền tố “arc” hoặc “a” vào tên của hàm lượng giác, ví dụ như arcsin, arccos và arctan.

Định nghĩa

Cho một số thực y nằm trong tập giá trị của hàm lượng giác, hàm số lượng giác ngược trả về góc tương ứng trong khoảng từ -π/2 đến π/2 (đối với arcsin và arccos) hoặc trong khoảng từ -π/2 đến π/2 (đối với arctan). Khi đó, hàm số lượng giác ngược được định nghĩa như sau:

Hàm arcsin (được ký hiệu là y = arcsin(x)) có tập xác định là [-1, 1] và tập giá trị là [-π/2, π/2].
Hàm arccos (được ký hiệu là y = arccos(x)) có tập xác định là [-1, 1] và tập giá trị là [0, π].
Hàm arctan (được ký hiệu là y = arctan(x)) có tập xác định là toàn bộ đoạn thẳng số thực và tập giá trị là (-π/2, π/2).

Đạo hàm

Đạo hàm của hàm số lượng giác ngược có thể tính được bằng cách sử dụng quy tắc đạo hàm ngược. Ví dụ, đạo hàm của hàm arcsin(x) là 1/√(1 – x^2), đạo hàm của hàm arccos(x) là -1/√(1 – x^2), và đạo hàm của hàm arctan(x) là 1/(1 + x^2).

Các hàm số lượng giác ngược

Trong toán học, các hàm số lượng giác ngược gồm arcsin, arccos, arctan và arccot được sử dụng để tìm giá trị góc tương ứng với một giá trị số. Những hàm số này có các đặc điểm quan trọng như kí hiệu, định nghĩa, tập xác định, và tập giá trị.

Kí hiệu, định nghĩa, tập xác định và tập giá trị

Dưới đây là tóm tắt kí hiệu, định nghĩa, tập xác định và tập giá trị của 4 hàm số lượng giác ngược:

Hàm số	Kí hiệu	Tập xác định	Tập giá trị
arcsin	y = arcsin(x)	-1 ≤ x ≤ 1	-π/2 ≤ y ≤ π/2
arccos	y = arccos(x)	-1 ≤ x ≤ 1	0 ≤ y ≤ π
arctan	y = arctan(x)	-∞ < x < ∞	-π/2 < y < π/2
arccot	y = arccot(x)	-∞ < x < ∞	0 < y < π

Đạo hàm của hàm số lượng giác ngược

Đạo hàm của các hàm số lượng giác ngược được tính như sau:

(arcsin x)’ = 1/√(1 – x2), với mọi x thuộc (-1, 1).
(arccos x)’ = -1/√(1 – x2), với mọi x thuộc (-1, 1).
(arctan x)’ = 1/(x2 + 1), với mọi x thuộc ℝ.
(arccot x)’ = -1/(x2 + 1), với mọi x thuộc ℝ.

Tính đơn điệu của hàm lượng giác ngược

Từ bảng đạo hàm trên, ta có các tính chất về đơn điệu của các hàm số lượng giác ngược:

Hàm số y = arcsin x đồng biến trên [-1, 1].
Hàm số y = arccos x nghịch biến trên [-1, 1].
Hàm số y = arctan x đồng biến trên ℝ.
Hàm số y = arccot x nghịch biến trên ℝ.

Hệ quả (nguyên hàm có liên quan)

Có thể tính được nguyên hàm của các hàm số lượng giác ngược như sau:

∫(1/√(1 – x2)) dx = arcsin x + C
∫(1/(x2 + 1)) dx = arctan x + C

Bài viết trên cung cấp kiến thức cơ bản về các hàm số lượng giác ngược, bao gồm định nghĩa, tập xác định, tập giá trị và đạo hàm của chúng. Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào, hãy để lại trong phần bình luận.