Trong toán học, một bài toán khá quen thuộc là chứng minh với mọi số nguyên dương n, ta có:
13 + 23 + 33 + … + n3 = \dfrac{n2(n+1)2}{4} = (1 + 2 + … + n)2
Có thể diễn giải bằng lời đẳng thức trên như sau:
Tổng các lập phương của n số nguyên dương đầu tiên bằng bình phương của tổng n số đó. Điều này có nghĩa là tổng các lập phương của n số tự nhiên (khác 0) đầu tiên luôn là một số chính phương.
Cách chứng minh phổ biến nhất
Cách chứng minh phổ biến nhất cho đẳng thức trên là dùng phương pháp quy nạp toán học. Đây là một phương pháp mạnh mẽ và thông dụng trong toán học.
Các cách chứng minh khác
Ngoài phương pháp quy nạp, còn tồn tại một số cách chứng minh khác cho đẳng thức này. Dưới đây là một số cách chứng minh đáng chú ý:
Cách chứng minh bằng phương trình hình học
Một trong những cách chứng minh đẹp và sáng tạo là sử dụng phương trình hình học để minh chứng cho đẳng thức trên.
Cách chứng minh bằng biện luận logic
Một cách tiếp cận khác là sử dụng biện luận logic để chứng minh đẳng thức. Bằng cách suy luận logic từ các điều kiện và quy tắc toán học, ta có thể đưa ra bằng chứng cụ thể cho đẳng thức.
Cách chứng minh đẳng thức về tổng các lập phương của n số nguyên dương đầu tiên
Cách dùng phương pháp quy nạp toán học
Dưới đây là một số cách chứng minh đẳng thức về tổng các lập phương của n số nguyên dương đầu tiên. Cách đầu tiên được gọi là cách dùng phương pháp quy nạp toán học.
Cách 1: Nguyễn Thế Bình
Theo cách này, ta chứng minh rằng diện tích của tam giác bằng tổng diện tích của các hình vuông nhỏ có kích thước từ 1 tới n. Đây là một cách tiếp cận dựa trên hình học.
Cách 2: Hồng Ngọc
Cách này sử dụng phương pháp của Hồng Ngọc để giải quyết bài toán tổng quát hơn. Lời giải này đồng thời chứng minh 3 đẳng thức sau:
- Tổng của n số nguyên dương đầu tiên: 1 + 2 + … + n = n(n + 1) / 2
- Tổng bình phương của n số nguyên dương đầu tiên: 1^2 + 2^2 + … + n^2 = n(n + 1)(2n + 1) / 6
- Chính là đẳng thức ở đầu bài.
Với cách làm tương tự, ta có thể tính được tổng các lập phương của n số nguyên dương đầu tiên tới bậc k tùy ý, tức là tính được S_k(n).
Bài viết này hy vọng đã giải đáp những câu hỏi của bạn về cách chứng minh đẳng thức về tổng các lập phương của n số nguyên dương đầu tiên.
